অবতল ও উত্তল চতুর্ভুজ

কার্টেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় যেকোনো চারটি বিন্দু যথাযথ চতুর্ভুজ গঠন করে কিনা তা যাচাই করতে নিম্নোক্ত বাটনে ক্লিক করুন। যথাযথ চতুর্ভুজ হলে তা বিশেষ ধরনের (যেমন, আয়তক্ষেত্র, রম্বস) কিনা তাও জানতে পারবেন। এছাড়া বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল বলে দিব।

Click here

এখানে ‘যথাযথ চতুর্ভুজ’ বলতে উত্তল বা convex চতুর্ভুজ বুঝায়। আমরা আজ পর্যন্ত যত চতুর্ভুজ দেখেছি, তার সবই হলো উত্তল চতুর্ভুজ। এসব চতুর্ভুজের প্রতিটি অন্ত:স্থ কোণ 180^o অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। যেমন, নিচের চতুর্ভুজটি লক্ষ্য করুন:

তাহলে প্রশ্ন আসে, অবতল বা concave চতুর্ভুজ কেমন দেখতে? নিম্নরূপ:

অর্থাৎ এ ধরনের চতুর্ভুজের একটি অন্ত:স্থ কোণ 180^o অপেক্ষা বড়। যে চারটি বিন্দু এরূপ চতুর্ভুজ গঠন করে, সেগুলো যে ক্রমেই নেয়া হোক না কেন, অবতল চতুর্ভুজই গঠন করবে; উত্তল বা ‘যথাযথ’ চতুর্ভুজ গঠন করবে না। এ রকম চারটি বিন্দুর উদাহরণ হলো: (0,0),(10,0),(3,3,),(0,10).

অপরপক্ষে, পরস্পর যোগ করে যথাযথ বা উত্তল চতুর্ভুজ গঠন করা যাবে, এমন চারটি বিন্দুর উদাহরণ হলো (0,0),(10,0),(8,8),(0,10). বিন্দুগুলোর নাম দেই যথাক্রমে A,B,C,D. এই ক্রমে বিন্দুগুলো উত্তল চতুর্ভুজ গঠন করবে। তবে ভুল ক্রমে নেয়া হলে যেমন, A,C,B,D ক্রমে নেয়া হলে নিম্নোক্ত ধরনের চিত্র পাওয়া যাবে, যেটা স্পষ্টত:ই চতুর্ভুজ নয়, বরং পরস্পর সংযুক্ত দুটি ত্রিভুজ মাত্র যাদের একটিমাত্র সাধারণ (common) শীর্ষ রয়েছে।

ধরুন, এস.এস.সি. পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে চতুর্ভুজ সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন আছে, যেখানে বিন্দুগুলো ভুল ক্রমে উল্লেখ আছে। সেক্ষেত্রে শিক্ষার্থীদের দায়িত্ব হলো, সঠিক ক্রম খুঁজে বের করা। ২০২৪ সালে এস.এস.সি. উচ্চতর গণিত পরীক্ষায় কোনো একটা বোর্ডে এ রকম একটা সমস্যা হয়েছিল। তখন প্রতিটি পরীক্ষকের কাছে বোর্ড থেকে নির্দেশনা ছিল যে, কোনো পরীক্ষার্থী প্রশ্নটি উত্তর করার জন্য ‘টাচ’ করলেই পূর্ণ নম্বর পাবে।

এমনটা হওয়া উচিত নয়, কারণ বিন্দুগুলো কোন ক্রমে সাজালে যথাযথ চতুর্ভুজ পাওয়া যাবে, সেটা খুঁজে বের করা শিক্ষার্থীর দায়িত্ব। এটা প্রশ্নের সমাধানেরই একটা অংশ।

এছাড়া প্রদত্ত চারটি বিন্দুর মধ্যে তিনটি বা সবগুলোই যদি সমরেখ হয়, তবে চতুর্ভুজ পাওয়া যাবে না। তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে চতুর্ভুজের বদলে ত্রিভুজ পাওয়া যাবে।

হোমপেজে আগের জায়গায় ফিরে যেতে নিচের লিংকে ক্লিক করুন।